点P是在平面直角坐标系中不在x轴上的一个动点，满足：过点P可作抛物线x2=y的两条切线，切点分别为A，B．

点P是在平面直角坐标系中不在x轴上的一个动点，满足：过点P可作抛物线x2=y的两条切线，切点分别为A，B．

（Ⅰ）设点A（x1 ， y1），求证：切线PA的方程为y=2x1x﹣x12；

（Ⅱ）若直线AB交y轴于R，OP⊥AB于Q点，求证：R是定点并求的最小值．

【答案】

证明：（Ⅰ）设以A（x1 ， x12）为切点的切线方程为y﹣x12=k（x﹣x1），

联立抛物线方程，可得x2﹣kx+kx1﹣x12=0，

由△=k2﹣4kx1+4x12=（k﹣2x1）2=0，

得k=2x1 ， 所以切线PA：y=2x1x﹣x12；

（Ⅱ）设B（x2 ， x22），

由（Ⅰ）可得切线PB：y=2x2x﹣x22 ， 可得P（，x1x2），

设AB：y=kx+m与y=x2联立得x2﹣kx﹣m=0，

即P（，﹣m），由题意可得k•kOP=k•=﹣2m=﹣1，

解得m=，即R（0，），由可得Q（﹣，），

|PQ|=，|QR|==，

所以==|k|+≥2，

当且仅当k=±时，的最小值为2．

【解析】

（Ⅰ）设以A（x1 ， x12）为切点的切线方程为y﹣x12=k（x﹣x1），联立抛物线方程，运用判别式为0，求得斜率k，即可得证；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得P（ ， x1x2），设直线AB方程，联立抛物线方程，求得P的坐标，由垂直的条件，可得R的坐标，进而得到|PQ|，|QR|，运用基本不等式即可得到最小值．