设F1 ， F2分别为椭圆C:的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,)到F1,F2两点的距离之和等于4．

设F1 ， F2分别为椭圆C:的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,)到F1,F2两点的距离之和等于4．

（1）求出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）过点P（0，）的直线与椭圆交于两点M、N，若OM⊥ON，求直线MN的方程．

【答案】

解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，

又点A(1,)在椭圆上，∴，∴b2=3，∴c2=1，

所以椭圆C的方程为．F1(-1,0),F2(1,0)

（2）直线MN不与x轴垂直，设直线MN方程为y=kx+，

代入椭圆C的方程得（3+4k2）x2+12kx﹣3=0，

设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，且△＞0成立．

又=x1x2+y1y2=x1x2+（ kx1+）（kx2+）=﹣﹣+=0，

∴16k2=5，k=±，

∴MN方程为y=±x+

【解析】

（1）利用椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，可求a，利用点A(1,)在椭圆上，可求b，从而求出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设直线MN方程为y=kx+ ， 代入椭圆C的方程，利用韦达定理即向量知识，建立方程，即可求得直线MN的方程．

【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．