已知1x+1y=1，x＞0，y＞0，x2+y2+z2=2xyz，则x+y+z的最小值为．

问题描述：

已知

1

x

+

1

y

=1，x＞0，y＞0，x²+y²+z²=2xyz，则x+y+z的最小值为 ___ ．

---

最佳答案：

1

x

+

1

y

=1，∴x+y=xy．①
设x+y+z=k，则z=k-x-y，
代入x2+y2+z2=2xyz=x2+y2+（k-x-y）2=2xy（k-x-y）=2（x+y）[k-（x+y）]，（由①）
2（x+y）2-2xy+k2-2k（x+y）=2k（x+y）-2（x+y）2，
4（x+y）2-（4k+2）（x+y）+k2=0，

△

4

=（2k+1）2-4k2=4k+1，
x+y=（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥4，
∴x+y=

(2k+1)+ 4k+1

4

≥4
2k+1+

4k+1

≥16，

4k+1

≥15-2k，
化为k≥=7.5，或k＜7.5且4k2-60k+225≤4k+1，
4k2-64k+224≤0，
k2-16k+56≤0，
∴k≥8-2

2

，
∴x+y+z的最小值是8-2

2

．
故答案为：8-2

2