已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．

已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．

若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率为﹣1，且不等式f（x）≥2x+m在[,e]上有解，求实数m的取值范围；

【答案】

解：由 ，

得切线的斜率k=f'（2）=a﹣3=﹣1，∴a=2，

故f（x）=2lnx﹣x2+2x，

由f（x）≥2x+m，得m≤2lnx﹣x2 ，

∵不等式f（x）≥2x+m在[,e]上有解，∴m≤（2lnx﹣x2）max ．

令g（x）=2lnx﹣x2 ， 则，

∵x∈[,e]，故g′（x）=0时，x=1．

当＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．

故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=﹣1，

∴m≤﹣1

【解析】

通过求导得到函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率，由此求得a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到m≤2lnx﹣x2 ， 利用导数求出g（x）=2lnx﹣x2在[,e]上的最大值得答案.