已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC．

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC．

（1）求证：；

（2）如果，求证：平行四边形ABCD是矩形．

【答案】

（1）答案见解析；（2）答案见解析

【解析】

由∠BAD+∠ADC=180°，∠BEF+∠DEF=180°，∠DEF=∠ADC即可得∠BAD=∠BEF，再由∠EBF=∠ADB，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ADB∽△EBF，根据相似三角形对应边的比相等即可证得结论；（2）由△ADB∽△EBF，根据相似三角形的性质可得，在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质可得BE=ED= BD，即可得AD·BF=BD·BE=，即；因为，可得BF=DF，又因BE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质可得FE⊥BD即∠DEF=90°，所以∠ADC=∠DEF=90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可判定平行四边形ABCD是矩形.

证明：（1）∵平行四边形ABCD，

∴AD//BC，AB//DC,

∴∠BAD+∠ADC=180°，

又∵∠BEF+∠DEF=180°，

∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF，

∵∠DEF=∠ADC，

∴∠BAD=∠BEF，

∵AB//DC，

∴∠EBF=∠ADB，

∴△ADB∽△EBF，

∴；

（2）∵△ADB∽△EBF，

∴，

在平行四边形ABCD中，BE=ED= ，

∴，

∴，

又∵，

∴，△DBF是等腰三角形，

∵，

∴FE⊥BD，即∠DEF=90°，

∴∠ADC=∠DEF=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形.