已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=0，an+1﹣Sn=n． 求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=0，an+1﹣Sn=n． 求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

【答案】

解：由an+1﹣Sn=n，得an﹣Sn﹣1=n﹣1（n≥2），

两式相减得an+1﹣an﹣（Sn﹣Sn﹣1）=1，即an+1=2an+1，

所以an+1+1=2（an+1）（n≥2），

又a1=0，a2=1，则a2+1=2（a1+1），所以an+1+1=2（an+1）对任意n∈N*成立，

所以数列{an+1}是以a1+1=1为首项，2为公比的等比数列．

所以，数列{an}的通项公式．

【解析】

条件an+1﹣Sn=n中令n=n﹣1得 an﹣Sn﹣1=n﹣1，两式相减得递推关系式an+1=2an+1，结合a1=0可证数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式.