在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长，短轴长．

在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长，短轴长．

(1)求椭圆的方程；

(2)记椭圆的左右顶点，分别过作轴的垂线交直线于点，为 椭圆上位于轴上方的动点，直线，分别交直线于点，．

(i)当直线的斜率为2时，求的面积；

(ii)求的最小值．

【答案】

（1）；（2）

【解析】

（1）直接利用已知求出a和b即得椭圆的方程.(2) (i)先求出点E，F的坐标，再求|EF|，再求的面积. (ii)先分别求DE,CF,再求．再利用基本不等式求的最小值．

（1）由题得，所以椭圆的方程为．

（2）由（1）知，，

设，则，直线的方程为，

令，得，

直线的方程为，令，得，

（i）当直线的斜率为时，有，消去并整理得，

解得或（舍），

所以的面积 ．

（ii）,，

所以．

所以DE+CF.

所以对任意的动点，的最小值为．