直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1 ， D为棱A1B1上的点．

直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1 ， D为棱A1B1上的点．

（1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

【答案】

（1）证明：∵AE⊥A1B1 ， A1B1∥AB，∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1 ，

又∵AC⊂面A1ACC1 ， ∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），

设D（x，y，z），=λ 且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

则 D（λ，0，1），所以=（-λ，，﹣1），

∵=（0，1，），∴•=-=0，所以DF⊥AE；

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．

理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，

∵=（-，，），=（-λ，﹣1），

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．

由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），

∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，

∴|cos＜，＞|==，即=，

解得λ=或λ=（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

【解析】

（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以•=0，即DF⊥AE；

（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜ ， ＞|= ， 解出λ的值即可．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．