已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣a+2（a∈R，a为常数）

已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣a+2（a∈R，a为常数）

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式mea+f（x0）＞0（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

【答案】

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

，

当a≤0时，f′（x）≥0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；

当a＞0时，由f′（x）≥0，且x＞0时，解得，

∴函数f（x）在区间(0,]上单调递增，在区间[,+)上单调递减；

（2）由（1）知，当a∈（﹣2，0]时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，

∴x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2﹣2a，

对任意的a∈（﹣2，0]，都存在x0∈（0，1]，不等式mea+f（x0）＞0都成立，

等价于对任意的a∈（﹣2，0]，不等式mea+f（x0）＞0都成立，

即对任意的a∈（﹣2，0]，不等式mea+2﹣2a＞0都成立，

不等式mea+2﹣2a＞0可化为，

记（a∈（﹣2，0]），则g′（a）=，

∴g（a）＞g（﹣2）=﹣6e2 ，

∴实数m的取值范围是[﹣6e2 ， +∞）．

【解析】

（1）求出原函数的导函数，然后对a分类分析原函数的单调性；

（2）由（1）可得，当a∈（﹣2，0]，f（x）在（0，1]上为增函数，求出f（x）在（0，1]上的最大值，把存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式mea+f（x0）＞0都成立，转化为对任意的a∈（﹣2，0]，不等式mea+f（x0）＞0都成立，分离参数m，再由导数求得最值后得答案．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．