已知函数<img alt="1" src="/tk/20210511/1620711578433.png"/>.

已知函数.

（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）对于任意的正实数，且，求证：.

【答案】

(1);(2)见解析.

【解析】

（1）函数在定义域内单调递增，等价于 对于任意恒成立，即对于任意恒成立，利用基本不等式求出函数最小值，从而可得结果；（2）设.令，则，原不等式等价于，可证明在上递增.又因为，则，从而可得结论.

（1）依题意，导数 对于任意恒成立，即不等式

对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立;

又因为当时（当时取等号），则，故实数的取值范围是.

(2)由于目标不等式中两个字母与可以轮换，则不妨设.令，则.

欲证目标不等式

. （※）

根据（1）的结论知，当时在上递增.又因为，则

，则不等式（※）正确，故原目标不等式得证.