已知椭圆C:<img alt="1" src="/tk/20210512/1620751059112.png"/>的离心率为<img alt=

已知椭圆C:的离心率为 ， 直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．

①设B(,1)，且= ， 求k的值；

②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．

【答案】

解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2 ，

因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有=b，

所以b=．

因为e=，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．

所以椭圆C的方程为．

（2）设点A（x0 ， y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0 ．

由解得，

①∵=+=，∴k=（k=0舍去）．

②∵，

（当且仅当k=时取等号），

∴S△AOD的最大值为．

【解析】

（1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；

（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求得交点A的坐标，

①运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；

②由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．