若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______

若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______

【答案】

t＞﹣

【解析】

∵函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1，

∴f′（x）=﹣6x2+4tx=0，

∴x=0，x=

（1）当t=0时，f（x=﹣2x3+1单调递减，

f（0）=1＞0，f（2）=﹣15＜0

∴存在唯一的零点，是正数．

（2）当t＞0时，

f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即0＜x＜

f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜0，x＞

∴f（x）在（﹣∞，0），（ ， +∞）单调递减

在（0，）单调递增

∴极大值f（）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，

∴存在唯一的零点，

（3）当t＜0时，

f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即＜x＜0

f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜ ， x＞0

∴f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）单调递减

在（ ， 0）单调递增

∴极小值f（）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，

∵只需极小值f（）＞0即可，

+1＞0，且t＜0

∴﹣＜t＜0，

综上：﹣＜t＜0，或t≥0

所以答案是：t＞﹣ ．