如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC = 30º，EF⊥AB于点F，连接DF.

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC = 30º，EF⊥AB于点F，连接DF.

（1）求证：AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.

【答案】

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

证明：（1）∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠AEF =∠AEB= 30º，AE=AB，∠EFA= 90º．

∵∠ACB= 90º，∠BAC= 30º，

∴∠EFA=∠ACB，∠AEF=∠BAC．

∴△AEF≌△BAC．

∴AC = EF．

（2）∵△ACD是等边三角形，

∴AC = AD，∠DAC= 60º．

由（1）的结论得AC = EF，

∴AD= EF．

∵∠BAC= 30º，

∴∠FAD=∠BAC+∠DAC= 90º．

∵∠EFA= 90º，

∴EF∥AD．

∵EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．