如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初

如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度v0冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．已知R=0.2m，l=1.0m，v0=2 m/s，物块A质量为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数为μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计，取g=10m/s2 ． 求：

（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小．

（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度．

（3）物块A仍以v0从轨道右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l满足什么条件时，物块A能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道．

【答案】

（1）解：物块A冲上圆形轨道后回到最低点速度为v0=2 m/s，

与弹簧接触瞬间，﹣μmgl= mv12﹣ mv02，

可得，物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1=2 m/s

（2）解：A被弹簧以原速率v1弹回，向右经过PQ段，

有v22﹣v12=﹣2μgl；解得A速度 v2=2m/s，

A滑上圆形轨道，有﹣mgh=0﹣ mv22，

（也可以应用﹣μ×mgl﹣mgh= mv22﹣ mv12）

可得，返回到右边轨道的高度为h=0.2m=R，符合实际

（3）解：物块A以v0冲上轨道直到回到PQ段右侧，

有v1′2﹣v02=﹣2μg×2l，

可得，A回到右侧速度：v1′2=（12﹣8l）（m/s）2，

要使A能返回右侧轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道，则有：

① 若A沿轨道上滑至最大高度h时，速度减为0，则h满足：0＜h≤R，

根据机械能守恒： mv1′2=mgh联立可得，1.0m≤l＜1.5m；

②若A能沿轨道上滑至最高点，则满足： mv1′2=mg×2R+ mv2′2且m ≥mg，

联立得 l≤0.25m，综上所述，要使A物块能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，

l满足的条件是1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m

【解析】

（1）物块A从Q到P过程中，运用动能定理，结合摩擦力做功，从而求出物块A与弹簧刚接触时的速度大小．（2）根据运动学公式求得回到圆轨道的速度大小，再根据动能定理求出A能够上升的高度，并讨论能否达到此高度．（3）A物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道，要么能够越过圆轨道的最高点，要么在圆轨道中上升的高度不要超过圆轨道的半径，结合动能定理和牛顿第二定律求出l所满足的条件．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用向心力的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握向心力总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小；向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力．