如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，

（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；

（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．

【答案】

证明：（Ⅰ）因为AB是直径，所以∠ACB=90°

又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB

因此∠BCF=∠CAB．

解：（Ⅱ）直线CF交直线AB于点G，

由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

所以FA=FG，且AB=BG

由切割线定理得：（1+FG）2=BG×AG=2BG2…①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2…②

由①、②得：FG2﹣2FG﹣3=0

解之得：FG1=3，FG2=﹣1（舍去）

所以AB=BG=2，

所以⊙O半径为．

【解析】

（Ⅰ）由AB是直径，得∠ACB=90°，由此能证明∠BCF=∠CAB．

（Ⅱ）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，由此利用切割线定理和勾股定理能求出⊙O半径．