如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．

如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．

（1）求证：△EFG∽△AEG；

（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

【答案】

（1）详见解析；（2）；（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是：．

【解析】

（1）由等边对等角得∠B=∠BED，由同角的余角相等可得∠A=∠GEF，进而由两角分别相等的两个三角形相似，可证△EFG∽△AEG；

（2）作EH⊥AF于点H，由tanA=及△EFG∽△AEG，得AG=4x，AF=3x，EH=，

可得y关于x的解析式；

（3）△EFD是等腰三角形，分三种情况讨论：①EF=ED；②ED=FD；③ED=EF三种情况讨论即可.

（1）∵ ED=BD，

∴∠B=∠BED．

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°．

∵ EF⊥AB，

∴∠BEF=90°．

∴∠BED+∠GEF=90°．

∴∠A=∠GEF．

∵∠G是公共角，

∴△EFG∽△AEG；

（2）作EH⊥AF于点H．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，

∴tanA==，

∴在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==,

∵△EFG∽△AEG，

∴,

∵ FG=x，

∴ EG=2x，AG=4x．

∴ AF=3x．

∵ EH⊥AF，

∴∠AHE=∠EHF=90°．

∴∠EFA+∠FEH=90°．

∵∠AEF=90°，

∴∠A+∠EFA=90°,

∴∠A=∠FEH,

∴ tanA =tan∠FEH,

∴在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH==,

∴ EH=2HF,

∵在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA==，

∴ AH=2EH，

∴ AH=4HF，

∴ AF=5HF，

∴ HF=，

∴EH=，

∴y=FG·EH=x·=定义域：（0<x≤）；

（3）当△EFD为等腰三角形时，

①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，

∵∠BED=∠EFH，

∴∠BEH=∠AHG，

∵∠ACB=∠AEH=90°，

∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH的平分线，

则ED=EF=x，DG=8−x，

∵anA=，

∴x=3，即BE=3；

②若FE=FD, 此时FG的长度是;

③若DE=DF, 此时FG的长度是.