如图,直角三角板ABC的边长BC=a,AC=b，开始时，斜边AB靠在y轴上，B与坐标原点O重合，今使A点单调地沿Y轴负方向朝O点移动，B点单调地沿X轴正方向移动。A运动到原点O时，求C点通过的路程__

如图,直角三角板ABC的边长BC=a,AC=b，开始时，斜边AB靠在y轴上，B与坐标原点O重合，今使A点单调地沿Y轴负方向朝O点移动，B点单调地沿X轴正方向移动。A运动到原点O时，求C点通过的路程___________________。

【答案】

【解析】

如图，延长CA交X轴于点E，连接OC．

∵∠AOB=∠ACB=90°，

∴∠AOC+∠ACB=180°，∠CAO+∠CBO=180°

∵∠1+∠CAO=180°，∴∠1=∠CBO，

∵∠AEO=∠BEC，∴△AEO∽△BEC，

∴，∴，

∵∠AEO=∠BEC，∴△ECO∽△EBA，

∴∠2=∠3，∵∠ADC=∠ODB，∠2+∠5+∠ADC=180°，∠3+∠4+∠ODB=180°，

∴∠5=∠4，∵∠5是定值，∴∠4也是定值，

即∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动，即C点的运动为往返的直线．

点C往返运动的路径，如图，C1到C2再到C3，

路径=C1C2+C2C3=（-a）+（-b）=2-a-b