已知椭圆C：<img alt="1" src="/tk/20210512/1620750895124.png"/>=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【答案】

解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2

∴b==，

∴椭圆C的方程为

（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2

当直线l斜率不存在时，FM与FN比值为1，不符合题意，舍去；

当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），

直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0

设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则y1+y2=﹣ ①，y1y2=﹣②

由FM与FN比值为2得y1=﹣2y2③

由①②③解得k=±，

因此存在直线l：y=±（x﹣1）使得△BFM与△BFN的面积比值为2

【解析】

（Ⅰ）根据椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，求出几何量，即可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2，分类讨论，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，消x并整理，利用韦达定理，根据FM与FN比值为2，即可求得直线方程．