如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，CD=2，AD=4．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，CD=2，AD=4．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

（1）证明：PQ∥平面BCD；

（2）若异面直线PQ与CD所成的角为45°，二面角C﹣BM﹣D的大小为θ，求cosθ的值．

【答案】

（1）证明：如图，连AP并延长交BD于E，连CE，

过M作MN∥BD交AP于N，则AN=NE，NP=PE．

故AP=3PE，从而PQ∥CE．

因PQ⊄平面BCD，CE⊂平面BCD，

故PQ∥平面BCD．

（2）解：过C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，连FR．

因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，

故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，从而BM⊥平面RCF，

所以∠CRF=θ即为二面角C﹣BM﹣D的平面角．

因PQ∥CE，故∠DCE=45°，因此CE即为∠BCD的角平分线．

由 （1）知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，

从而BC=1，CF=．

由题意知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM．

由题意知CM=2，故CR=．

所以=，从而．

【解析】

（1）连AP并延长交BD于E，连CE，过M作MN∥BD交AP于N，由已知条件推导出PQ∥CE．由此能证明PQ∥平面BCD．

（2）过C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，连FR．由已知条件推导出∠CRF=θ即为二面角C﹣BM﹣D的平面角，由此能求出cosθ的值．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用异面直线及其所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．