如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点.

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点.

(1)求二面角B1-MN-B的正切值.

(2)求证:PB⊥平面MNB1.

【答案】

（1）；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由平面DD1B1B⊥平面ABCD,得AC⊥平面DD1B1B，故可得MN⊥平面DD1B1B，所以B1F⊥MN,BF⊥MN，可得∠B1FB即为二面角B1-MN-B的平面角，在Rt△B1FB中, 可得tan∠B1FB=2.（2）过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA, 由DA⊥平面ABB1A1,得PE⊥平面ABB1A1,所以PE⊥B1M，又BE⊥B1M, 所以B1M⊥平面PEB，从而PB⊥MB1，又PB⊥MN,所以PB⊥平面MNB1.

试题解析：

(1)连接BD交MN于F,连接B1F,连接AC.

因为平面DD1B1B⊥平面ABCD,交线为BD,AC⊥BD,

所以AC⊥平面DD1B1B，

又因为AC∥MN,

所以MN⊥平面DD1B1B.

因为B1F,BF⊂平面DD1B1B,

所以B1F⊥MN,BF⊥MN，

因为B1F⊂平面B1MN,BF⊂平面BMN,

所以∠B1FB即为二面角B1-MN-B的平面角，

在Rt△B1FB中,设B1B=1,则FB=,

所以tan∠B1FB=2.

故二面角B1-MN-B的正切值为2.

(2)过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA,连接BE.

又DA⊥平面ABB1A1,

所以PE⊥平面ABB1A1,

因为B1M⊂平面ABB1A1,

所以PE⊥B1M，

又BE⊥B1M, PE∩BE=E，

所以B1M⊥平面PEB.

所以PB⊥MB1.

由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,

又MB1∩MN=M，

所以PB⊥平面MNB1.