已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）

已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）

（1）若函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，且极小值为﹣2，求a，b的值．

（2）若x∈[0，1]，函数f（x）在图象上任意一点的切线的斜率为k，求k≤1恒成立时a的取值范围．

【答案】

解：（1）由f'（x）=3x2+2ax得x=0或x=-

∴-=2得a=﹣3．

当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时f'（x）＞0

故当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=8+4a+b=﹣2

所以b=2…（6分）

（2）当x∈[0，1]，k=f'（x）=3x2+2ax≤1恒成立，

即令g（x）=3x2+2ax﹣1≤0对一切x∈[0，1]恒成立，

只需即a≤﹣1

所以a的取值范围为（﹣∞，﹣1]

【解析】

（1）通过求函数的导数，函数f（x）在x=0，x=2处取得极值，就是x=0，x=2时导数为0，求出a，利用极小值为﹣2，求出b；

（2）由（1）可得f（x）的解析式．x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，k≤1恒成立，就是导函数的值域≤1恒成立，再用二次函数根与系数的关系，求实数a的取值范围．

【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．